已知 $$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3} $$ 求 $$x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=?$$ .
注意到
[ 2\cos{\frac{\pi}{6}} = 2\times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = x + \frac{1}{x}]
令
[ x=e^{i\theta} \Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\cos{\theta}=\sqrt{3} \Rightarrow \cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} ]
所以
[ x^{12} + \frac{1}{x^{12}}=2\cos{12\theta}=2\cos{12\times\frac{\pi}{6}}=2\cos{2\pi}=2 ]
所以
[x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=2]
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